Problemas resueltos sobre introducción a la teoría de los grupos.

1.- Pruebe que si G es un grupo finito con identidad e y con un número par de elementos, entonces existe un elemento a \in G, con a \neq e, tal que a^{2}=e.

Solución propuesta:

Dado que ord(G)=2k, entonces hay 2k-1 elementos en G tales que x \neq e. Por ser G un grupo, para cada x \in G existe x^{-1} \in G, su elemento inverso, así, debido a que tenemos un número impar de elementos distintos de la unidad e entonces existe un elemento a \in G, tal que a \neq e y además a=a^{-1}, es decir a^{2}=e. \diamond

2.- Pruebe que todo grupo G con identidad e y tal que a^{2}=e para todo a \in G, es abeliano.

Solución propuesta:

Como a^{2}=e para toda a \in G, entonces

(a \cdot b)^{2} =e=(a \cdot b)(a \cdot b)

Entonces, operando con b por la derecha, es decir

(a \cdot b)(a \cdot b)=e \Rightarrow (a \cdot b)(a \cdot b)b=e \cdot b = b

Obtenemos que

(a \cdot b)a = b

Y ahora, operando nuevamente por la derecha, pero con el elemento a tenemos que

ab=ba

Cómo a, b \in G son elementos arbitrarios, entonces G es abeliano. \diamond

3.- Sea G un grupo finito y sea x un elemento de G cuyo orden es n, donde n es impar. Pruebe que existe k \in \mathbb{N} tal que x=(x^{2})^{k}.

Solución propuesta:

Por hipótesis x^{n}=x^{2m+1}=e, pues n es impar, entonces

x^{2m+1} \cdot x = x^{2m+2} = e \cdot x = x

Así, sea k=m+1 \in \mathbb{N}, claramente tal k satisface

(x^{2})^{k}=x

Por las leyes de los exponentes en un grupo. \diamond

4.- Pruebe que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces

HK=\{hk \mid h \in H, k \in K \}

en un subgrupo de G.

Solución propuesta:

H y K son no vacíos, por ser subgrupos, por lo tanto HK \neq \emptyset pues al menos el elemento identidad se halla en HK. Ahora bien, sean h_{1}k_{1}, h_{2}k_{2} \in HK; por estar h_{2}k_{2} \in G entonces (h_{2}k_{2})^{-1}=k_{2}^{-1}h_{2}^{-1} y además, por ser G abeliano tenemos que

k_{2}^{-1}h_{2}^{-1}=h_{2}^{-1}k_{2}^{-1}

Entonces, por la conmutatividad de la operación en G:

(h_{1}k_{1})(h_{2}k_{2})^{-1}=(h_{1}k_{1})(k_{2}^{-1}h_{2}^{-1})=(h_{1}h_{2}^{-1})(k_{1}k_{2}^{-1}) \in HK

Y así, HK es un subgrupo de G. \diamond

5.- Pruebe que un grupo cíclico con únicamente un generador puede tener a lo más dos elementos.

Solución propuesta:

Suponga que G es generado por un elemento a \neq e, donde e es la identidad. G es finito, pues, en el conjunto

<a>=\{e,a,a^{2},\ldots , a^{k-1} \}

Existe a^{-1}=a^{k-1} para algún k \in \mathbb{N}^{*}. Por definición se tiene que

a^{k}=a^{k-1} a=e

Y por lo tanto ord(G)=k < \infty.
Por otro lado, se tiene también que

(a^{-1})^{k-1}=(a^{k-1})^{-1}=a

Como por hipótesis el generador en G es único, se tiene entonces que

(a^{-1})^{k-1}=a \Rightarrow k-1 = 1 \Leftrightarrow k=2

Lo que implica que el ord(G)=2, por supuesto, tomando en cuenta que a \neq e. En el caso en que a=e entonces ord(G)=1. \diamond

6.- Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos los elementos x \in G tales que x^{2}=e forman un subgrupo de G. Generalize el caso donde n \geq 1 es un entero fijo y H=\{x \in G \mid x^{n}=e\}.

Solución propuesta:

Se hará la demostración cuando para n \geq 1, en general, quedando el caso n=2 como un caso particular:
H \neq \emptyset Pues al menos x=e \in H. Por otro lado, sean x,y \in H entonces x^{n}=e y y^{n}=e. Es claro que, en particular, si y \in H entonces y^{-1} \in H pues

(y^{n})^{-1}=(y^{-1})^n=e

Así, dado x, y \in H se tiene que, por la conmutatividad de la operación en G,

(xy^{-1})^{n}=x^{n}(y^{-1})^{n}=(e)(e)=e

es decir, xy^{-1} \in H. \diamond

7.-Sea el grupo de permutaciones S_{4}. Dar un ejemplo de dos subgrupos de orden 4. Sean J,K tales subgrupos. Determinar el menor subgrupo que contiene a ambos. ¿Es C=HK=\{hk:h \in H, k\in K \} tal subgrupo?

Solución propuesta:

Utilizando la notación de representación de una permutación por ciclos, Sea H=\langle (b\,c\,d\,a) \rangle y K=\langle (a\,b),(c,d) \rangle ambos son subgrupos de orden 4 (El lector puede comprobarlo llevando a cabo los cálculos). El menor subgrupo que contiene a ambos es la intersección de todos los subgrupos que contienen a H,K, el cuál será C=HK Si y solo sí HK=KH, sin embargo, en este caso en particular H \cap K = \{e\} el elemento identidad, por lo que  se tendrían 16 elementos en HK PERO, observe el lector que 16 no es divisor de 24, luego entonces HK no puede ser un subgrupo, en este caso.

8.- Dada una ley de composición interna asociativa en un conjunto G, para la cuál existe al menos un elemento e tal que para cualquier elemento g \in G se tiene que eg=g y sí además para g \in G existe un elemento $h \in G$ tal que hg=e entonces, G con esa ley de composición interna es un grupo.

Solución propuesta:
Tenemos que (\forall g \in G) (\exists h \in G) tal que h \cdot g = e, también tenemos, en particular,  que (\exists w \in G) tal que wh=e Así, sea g \in G entonces
g = e \cdot g = (w \cdot h) \cdot g = w \cdot (h \cdot g) = w \cdot e = w (e \cdot e) = w \cdot [(h \cdot g) \cdot e]
y
(w \cdot h)(g \cdot e) = g \cdot e
lo que implica
e \cdot g = g \cdot e
Qué es equivalente a la definición original para el elemento identidad. Por otro lado tenemos también que
e = w \cdot h = w \cdot (e \cdot h) = w \cdot [(h \cdot g)] \cdot h = (w \cdot h) \cdot (g \cdot h) = g \cdot h = e
de donde
hg = gh

Que equivale alcomportamiento de los elementos inversos; por lo tanto, de la definición de ley de composición interna, y de la asociatividad de la misma, se tiene que G bajo esta esta ley de composición interna, es un grupo.

Más problemas resueltos aquí

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2 pensamientos en “Problemas resueltos sobre introducción a la teoría de los grupos.

  1. Me parece muy interesante esta entrada.
    Propongo dos problemas por si es posible incluirlos aquí:
    PROBLEMA 1
    Dada una ley de composición interna asociativa en la cual existe al menos un elemento e tal que para cualquier elemento eg=g y además para cualquier elemento g existe al menos un elemento h tal que hg =e, entonces se trata de un grupo

    PROBLEMA 2

    Sea el grupo de permutaciones S(4). Dar ejemplo de dos subgrupos de orden 4. Sean J y K tales subgrupos. Determinar el menor subgrupo que contiene a ambos. ¿Es el conjunto C={ab | a pertenece a J y b pertenece a K} ese subgrupo?

    Gracias de antemano por tomar en consideración mi propuesta.

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